Sunday, 2 March 2008

定義 sgn(x)

通常sgn(x)會定義為|x|=xsgn(x),即|x|=x->sgn(x)=1, |x|=-x->sgn(x)=-1 可是對於|x|=x=0時,sgn(0)是甚麼? 畫一個|x|=y的圖,得到一個「V」字,而x=y的圖就不用說了。 而|x|=xsgn(x),|x|/x=sgn(x),兩者相除當然是個0/0的不定式,|x|和x均為連續的函數,取|x|/x在0的極限,二次方得|(x^2/x^2)|=|1|=1,即sgn(0)=1。 事實上,有不少取正值(不同複數的「絕對值」)上的問題如果定義sgn(0)=1會無解,例如: |[x]^2-{x}|=[x]^2 ([x]^2-{x})sgn([x]^2-{x})=[x]^2 sgn([x]^2-{x})=[x]^2/([x]^2-{x}) 解1:當[x]^2>0,{x}>0, [x]^2/([x]^2-{x})>=1, sgn([x]^2-{x})=1 [x]^2-{x}=[x]^2 {x}=0,x為任意整數。 解2:當 [x]=0,{x}>0,,[x]^2/([x]^2-{x})=0,sgn([x]^2-{x})=0 [x]^2-{x}=0 [x]^2={x} [x]=0, {x}=0, x=0 (因為0=<{x}<1) 或 [x]^2-{x}=0=[x]^2 [x]=0,即x可以為[0,1)之間任可數,但當{x}>0, sgn([x]^2-{x})=-1,矛盾!

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